“九连环”游戏概述
    在众多的游戏玩具中，我们祖先发明的一九连环，算是一种难得的、令人拍案称奇的珍品! 九连环流传于中国民间，是一种有意义的智力游戏。如果没有人指导，初学者不易上手。懂得它的基本技巧和原理后，你会乐此不疲。
    九连环由九个相同的，如下图一个扣着一个，且带着活动柄的金属环，和一把剑形的框套组成(下图)，所有金属环上的活动柄都固定在一根横木条上。

图 1 二进制表示九连环及其数位关系

    游戏的目的，是要把九个金属环逐一地从剑形框套中脱下来，形成环和框分离的状态:或者从原先分离的状态出发，恢复成上图所示的一环扣一环的样子。
    “九连环”在我IA民间流传极广，源远流长，在许多古代文学名著中(如《红楼梦》等)，都有关于玩“九连环”游戏的描写。
    九连环”游戏，大约在16世纪以前，便已传到国外，最早见自1550年出版的著名意大利数学家卡当(Cardano， 1501 -1576)的著作，称之二中国九连环"。
    下面，我们研究解“九连环”的一般规律：
    为使脱环的动作数量化，找们把下页图所示的两种脱环手法，每一种都定义为一个“4本动作”:
    很显然，脱下第1个环，只需要一个基本动作(1)，而要脱下头2个环，必须先用一个基本动作(2)，把第2个环退到剑形框下，再用一次基本动作(1)，脱下第I个环，也就是说，要脱下头两个环共需两个基本动作，
    如果我们把脱下头k个环所需要的基本动作数记为f( k)，那么上述结果便可记为
                    f(1)=I·f(2)=2，
    通过细心而逐步地尝试，可知要脱下“九连环”中的第1至第9个环，至少需要用的基本动作数分别为
                  1 ，2,5，10,21，42,85，170,341，
    观察这一列数。不难发现以下的规律，即:
    观察这一列数，不难发现以下的规律，即:
    A，处于偶数位的数，都等于前一位数的两倍:
    B，处于奇数位的数，都等于前一位数的两倍加上1，
    对于“九连环”游戏，我们要研究的问题有三个:
    (”怎样证明脱环的基本动作数，符合上述规4t?
    (2)对于任给的一，1",f(n)=?
    (3)所谓“状态”指的是:在脱环过程的某一时刻，有一些环已退到剑形框下，而另一些环却仍在框上的态势，
    一个重要且困难的问题是:从任何一种状态出发，到达另一种状态，所需要的基本动作数是多少?
    例1如下页图一九连环”中的第7个环，已脱至剑形框下，试问，从初始的状态(九环均在剑形框上)开始，需要经过几步的脱环动作，才能达到图中的状态?
    解假定从初始的状态开始，达到图中的状态需要经过X步的脱环动作，那么，接下去可再用f(6)步基本动作将头6个环脱下，至此，连同第7个环，头7个环都已退到剑形框下，由于从初始的状态开始，到脱下头7个环，所需的基本动作数为f(7)，从而有
                    X+f(6) =f(7)，
    解得X= f(7)- f(6)=85-42=43，
    即从初始的状态达到图中的状态需要运作43步。
    正如前面所说，要做到“九连环”玩具的九个环与剑形框柄脱离，必须进行341次基本动作，由于脱环的过程必须做到眼、手、脑并用，而且基本动作之多，少说也要花上五分钟时间，因此从事这项游戏，对于人们的智力和耐性，都是一个极好的锻炼。
    “九连环”是一种值得保藏的益智玩具，建议读者买一把小学生用的短木尺及九个钥匙环，再找儿段铁丝，模仿本节开头的图样，做它一副，我想，这副山你亲手制作的玩具，其受益者肯定不止你一个!

九连环游戏详解

为便于叙述，下面是一些基本约定（首先，假定你不是左撇子，用右手操作环。参见图1）：

1. 你左手持剑柄，剑尖朝右，最右边靠剑尖的环为第一环：以九位二进制的右边第一位（个位）表示，其余环向左按顺序由低到高位表示2环（2位）、3环（4位）……最左边为9环（256位）；

2. 二进制1代表相应的环套在九连环的剑身上；0则代表该环从剑身上卸下。

二进制表示九连环状态的具体例子见图2。图中3、5、6、8环在剑身上，相应位上的数字为1，而1、2、4、7和9环不在剑身上，相应的数字为0，整个二进制数为：010110100，它代表的十进制值为180。（即附表一中第125步后的二进制数）另一例子图3的二进制数为：010111100，它代表的十进制值为188。

按规定某环在剑上时，不仅环要套在剑身上，环的连接杆也应穿在中空的剑身中。上面图中只有图A的环真正套在剑上。（图E的环虽然套在剑上，但环的连接杆没有穿在剑身中。）

环的套上和卸下操作：

* “套环”需先将该环从剑身中穿上，然后把环从右套入剑尖。即先穿后套：见图D→C→B→A

* “卸环”需先将该环从右剑尖卸出，然后把环从剑身中穿下。即先卸后穿：见图A→B→C→D

应指明，（除了仅有一个最左面的环在剑上或无环在剑上时只有一环可操作外）九连环在其它任何状态下，任何时候，只有两个环可以进行操作：一个是头一个环，即一环操作；另一个是隔着第一个套在剑上环操作接下来的第二个环，我暂且称它为“隔环操作”。这里的操作就是改变被操作环的状态。被操作环在剑下时套上该环；被操作环在剑上时卸下该环！

图 2 二进制表示九连环例子及操作对象定义

图 3 与图2例子互为“隔环操作”后的结果

为方便界定隔环操作，做以下定义：

# 从右剑尖向左数第一个套在剑上的环视为“前环”即隔环；

# 前环的左面紧接着的下一个环定为“后环”即被操作环。

图2状态中一、二环都不在剑上，第一个在剑上的是三环，即为前环；接下来的四环就是后环，即是隔环操作中的被操作环。如果进行隔环操作就是要把第四环套上，在附表一中是向后解套九连环的操作。图中第一环也可以操作：如果把一环套上，在附表一中是向前复原九连环的操作。（图3为图2隔环上操作结果图；而图2为图3隔环下操作结果图，是反向复原九连环的操作）

图1状态中一环就在剑上，此时一环即为前环；接下来的二环就是后环，即是隔环操作中的被操作环。如果进行隔环操作就是要把第二环卸下，在附表二中是向后解套偶连环的操作（参见后面关于偶连环的讨论。这里“向前”或“向后”是指相对附表中的方向）。图中第一环也可以操作：如果把一环卸下，在附表一中是向后解套九连环的的第一步操作。

当全部环都已卸下，无法定义前环，当然无后环和隔环操作；当仅有一个最左面的环在剑上时，找不到后环，没有了被操作环，也不可能进行隔环操作。

 

解套九连环需要轮流替换的两种基本操作：

1. 操作第一环的上下，即一环操作；

2. 隔着“前环”操作“后环”的上下，隔环操作。

整个九连环的连续操作顺序为：1，2，1，2，……

即：“一环操作”和“隔环操作” 像两条腿走路一样间隔进行！

（特别指出：一环操作套上后：一环变为前环，二环为后环，接下来的隔环操作即是隔着一环操作二环的上下；下面紧接着的是卸下一环操作。指明这点是为理解后面的简化操作做准备。）

一环操作比较简单，只要遵循：先穿上后套环，或 先卸环后穿下 即可。

一般初学者比较困难的是‘后环透过前环’的隔环操作。它是九连环的特殊拓扑结构能够有解的关键所在。（这也是熟练者提高操作速度的关键点）可以说没有隔环操作，解套九连环就不可能递推进行。下面专门用图解叙述其操作过程。

后环在下时的套上操作（图2）：首先，把被操作的后环在前环的左边从下边通过剑身的两根杆之间向上穿出（图F）；其次，在剑上平拉后环推着前环向右剑尖滑（剑移向左 图G）；当滑到剑尖时，将后环透过前环从剑尖右边向下套上（图H）；最后，整理时前后环都应在剑身上（图3）；

后环在上时的卸下操作（图3）：首先，把被操作的后环和前环一起拉向右剑尖（剑移向左）；其次，把后环透过前环从剑尖的右边向上卸出（图H）；把前环从剑尖推回（图G），同时把后环从上边通过剑身的两根杆之间向下丢出（图F）；最后，前环仍在剑身上，后环已被卸下（图2）。

本人体会，隔环卸下操作比隔环套上操作相对容易一些。

上面是揭示解连环的原理时有规律的基本操作，实际操作时，由于九连环中的一二环的特殊位置结构（右边没有其它环的连接杆阻挡），其中一二环作为前后环的隔环操作可以和前面或后面的同向一环操作合并简化：

1. 当上一环后接着隔环操作上二环，可以合成一个动作完成，即把两个环拿在一起同时往剑上穿套；我把它简称“上双”，附表中操作注明“上12”。

2. 当隔环操作下二环后接着下一环，也可以合成一个动作完成，把两个环拿在一起同时从剑上卸下。简称“下双”，附表中操作注明“下21”。

简化后，没有了单独的二环隔一环的操作。操作规律和顺序变为：

★ 下一；隔环操作，上一 下双；隔环操作，上双 下一；隔环操作，上一 下双；……

这样加入了双环合并的简化操作可使九连环解法过程从371步，减少到256步（节省约1 / 4）。

有了上面的操作规律和顺序不用任何的表或口诀就可以从容地解脱九连环了。

九连环的玩法总起来讲只有间和隔两个要点：

~ 间隔顺序。掌握上面黑斜体的顺序规律。（“隔”和“一，双”两条腿走路）

~ 隔环操作。正确找对隔环操作对象；正确做对隔环操作。（该上则上，该下则下）

注意：“一、双”环的操作总是先上后下（简化操作中，此时的一环状态一定在下）。

作完隔环操作后，一、二环双双在下时作“上双 下一”；只有一环在下时作“上一 下双”。

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